Số hữu tỉ

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x rất có thể màn trình diễn bên dưới dạng phân số , vô ê a và b là những số vẹn toàn với b ≠ 0.^[1]

Tập hợp ý những số hữu tỉ^[2], hoặc hay còn gọi là ngôi trường số hữu tỉ^[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.^[4] Tên Q của tụ hội này được Giuseppe Peano dùng chuyến thứ nhất như thể chữ viết lách tắt của quoziente, tức là tỷ trọng, và xuất hiện tại lần thứ nhất vô cuốn sách Algèbre^[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: số hữu tỉ kí hiệu là gì

Khai triển thập phân của một vài hữu tỉ kết đốc sau một vài hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí là chính thức tái diễn một vài hữu hạn nằm trong mặt hàng những chữ số lặp cút tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).^[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết đốc sau hữu hạn chữ số đều thay mặt đại diện mang đến một vài hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong những cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số vẹn toàn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko nên là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.^[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, e và φ. Khai triển thập phân của một vài vô tỉ kéo dãn mãi nhưng mà ko tái diễn. Vì tụ hội những số hữu tỉ là kiểm đếm được và tụ hội những số thực là ko kiểm đếm được nên hầu hết toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.^[8]

Số hữu tỉ rất có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số vẹn toàn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối liên hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Lúc ê biểu thị lớp tương tự của (p, q).^[9]

Số hữu tỉ cùng theo với phép tắc nằm trong và phép tắc tự tạo trở thành một ngôi trường vô ê sở hữu chứa chấp những số vẹn toàn, và được chứa chấp vô ngẫu nhiên ngôi trường nào là sở hữu chứa chấp những số vẹn toàn. Nói cách tiếp theo, ngôi trường số hữu tỉ là 1 trong những ngôi trường nhân tố và một ngôi trường sở hữu đặc thù là 0 nếu như và chỉ Lúc nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.^[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo ra trở thành một tập dượt con cái trù phú của những số thực. Các số thực rất có thể được kiến tạo kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp hoàn thiện, dùng chuỗi Cauchy, rời Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu biết thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ vô thương hiệu của tụ hội Q nói đến thực tiễn rằng một vài hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhị số vẹn toàn. Tính kể từ hữu tỉ nhiều khi Tức là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là 1 trong những điểm sở hữu toạ phỏng hữu tỉ (tức là 1 trong những điểm sở hữu toạ phỏng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là 1 trong những quỷ trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ rất có thể là 1 trong những nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy nhiên thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm rời lầm lẫn thân thiết " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là 1 trong những biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Lúc những thông số của chính nó ko nên là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một lối cong hữu tỷ không phải là 1 trong những lối cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, nhưng mà là 1 trong những lối cong rất có thể được thông số hóa vì chưng những hàm hữu tỷ.^{[cần dẫn nguồn]}

Từ vẹn toàn này tương tự động như kể từ vẹn toàn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ rất có thể được màn trình diễn theo gót một cơ hội có một không hai bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô ê a và b là những số nhân tố bên cạnh nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng đúng đắn của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một vài hữu tỉ a/b, dạng đúng đắn của chính nó rất có thể cảm nhận được bằng phương pháp phân chia a và b mang đến ước cộng đồng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi vệt của tử số và kiểu số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số vẹn toàn n rất có thể được màn trình diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một vài hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Lúc và chỉ Lúc

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Lúc và chỉ Lúc và ^[9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhị kiểu số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Lúc và chỉ Lúc

Mặt không giống, nếu như 1 trong nhị kiểu số là âm, thì trước tiên từng phân số sở hữu kiểu số âm nên được fake trở thành dạng tương tự với kiểu số dương — bằng phương pháp thay đổi vệt của tất cả tử số và kiểu số của chính nó.^[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc b và d là những số nhân tố bên cạnh nhau.^[9]^[11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy vô những ngôi trường hợp

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc b và d là những số nhân tố bên cạnh nhau.^[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong ê thành phẩm rất có thể là 1 trong những phân số rất có thể rút gọn gàng — trong cả Lúc cả nhị phân số ban sơ đều ở dạng chủ yếu tắc.^[9]^[11]

Nghịch hòn đảo phép tắc nằm trong và phép tắc nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b sở hữu một nghịch tặc hòn đảo phép tắc nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b sở hữu nghịch tặc hòn đảo phép tắc nhân, hay còn gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch tặc hòn đảo của chính nó là b/a hoặc −b/−a, tùy thuộc vào vệt của a.^{[cần dẫn nguồn]}

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, c và d không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b mang đến c/d tương tự với nhân a/b với nghịch tặc hòn đảo của c/d:

^[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một vài vẹn toàn ko âm, thì

Kết ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: one piece chap 1059

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành phẩm là bⁿ/aⁿ nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành phẩm là −bⁿ/−aⁿ.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thao diễn vô hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi màn trình diễn số hữu tỉ theo gót hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ rất có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với kiểu dương và kiểu không tồn tại ước nhân tố nào là ngoài 2 và 5 thì phân số ê viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số sở hữu kiểu số là không tồn tại ước nhân tố nào là không giống 5 nên rất có thể viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với kiểu dương và kiểu sở hữu tối thiểu 1 ước nhân tố không giống 2 và 5 thì phân số ê viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số sở hữu kiểu số là 7 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số sở hữu kiểu số là 17 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn vô màn trình diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số vô chu kỳ luân hồi này rất có thể chứng tỏ được rằng ko vượt lên trên quá |b|.

Một cơ hội tổng quát mắng, vô một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau vệt phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu thao diễn vì chưng liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là 1 trong những biểu thức ví dụ điển hình như

trong ê a_n là những số vẹn toàn. Mọi số hữu tỉ a/b rất có thể được màn trình diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, nhưng mà thông số a_n rất có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide mang đến (a, b).

Xây dựng tập dượt những số hữu tỉ kể từ tập dượt số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập tân tiến, người tao kiến tạo tụ hội những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét tập dượt tích Decaters:

Trên ê xác lập một mối liên hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a mang đến b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là tập dượt những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên tập dượt khái niệm những phép tắc toán:

Khi ê nếu và

thì ;

và .

Do ê những phép tắc toán bên trên rất có thể được fake lịch sự trở thành những phép tắc toán bên trên tập dượt những lớp tương tự rằng bên trên, tức là tập dượt .

Để coi là phần tử của tao nhúng vô nhờ đơn ánh cho từng số vẹn toàn n ứng với lớp n/1 vô .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tập hợp ý Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những phép tắc toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo ra trở thành một ngôi trường.^[9]

Z không tồn tại phép tắc tự động đẳng cấu nào là ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường sở hữu loại tự^[11] không tồn tại ngôi trường con cái nào là không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường sở hữu trật tự nhỏ nhất, theo gót tức là từng ngôi trường sở hữu trật tự đều có một ngôi trường con cái có một không hai đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của tụ hội những số vẹn toàn Q.^[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.^{[cần dẫn nguồn]}

Tập hợp ý toàn bộ những số hữu tỉ rất có thể kiểm đếm được (xem hình vẽ), trong những lúc tụ hội toàn bộ những số thực (cũng như tụ hội những số vô tỉ) là ko kiểm đếm được. cũng có thể kiểm đếm được, tụ hội những số hữu tỉ là tụ hội trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, theo gót nghĩa của phỏng đo Lebesgue.^{[cần dẫn nguồn]}

Số hữu tỷ là 1 trong những tụ hội sở hữu trật tự động trù mật: thân thiết nhị số hữu tỷ ngẫu nhiên, sở hữu một vài hữu tỷ không giống, và bởi vậy, sở hữu vô số số hữu tỷ không giống thân thiết bọn chúng.^[9] Ví dụ, so với nhị phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tao có

Bất kỳ tụ hội sở hữu trật tự trọn vẹn nào là rất có thể kiểm đếm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 nào là là đẳng cấu trật tự với tụ hội những số hữu tỉ.^[14]

Với số thực và đặc điểm pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là 1 trong những tập dượt con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều phải có những số hữu tỉ ngay sát nó một cơ hội tùy ý.^[9] Một đặc điểm tương quan là số hữu tỉ là số có một không hai sở hữu không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ sở hữu một cấu tạo link trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng đều có một cấu tạo link không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo ra trở thành một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh chênh chếch vô cùng d(x, y) = | x − y |, và điều này tạo nên một cấu tạo link loại tía bên trên Q. Tất cả tía cấu tạo link trùng khớp và đổi mới những phải chăng trở thành một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là 1 trong những ví dụ cần thiết của một không khí ko nên là không rườm rà toàn cục. Các phải chăng được đặc thù về mặt mày cấu tạo link là không khí rất có thể kiểm đếm được có một không hai nhưng mà không tồn tại điểm xa lánh. Không gian tham này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo ra trở thành một không khí số liệu trả chỉnh ; những số thực là việc hoàn thiện của Q theo gót metric d(x, y) = | x − y | bên trên.^[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được nhắc phía trên, sở hữu những số liệu không giống đổi mới Q trở thành một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một vài nhân tố và với từng số vẹn toàn không giống ko a, mang đến | a |_p = p⁻ⁿ, vô ê pⁿ là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: đổi ảnh sang word

Ngoài rời khỏi tao bịa | 0 |_p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tao bịa | a/b |_p = | a |_p/| b |_p .

Khi ê d_p(x, y) = | x − y |_p xác lập một metric bên trên Q^[15]

Không gian tham metric (Q, d_p) ko hoàn hảo và phần hoàn thiện của chính nó là ngôi trường số p -adic Q_p. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường nào là bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Số vẹn toàn tố
Số nguyên
Số tự động nhiên
Số vô tỉ
Số đại số
Số siêu việt
Số thực
Số phức
Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (ấn phiên bản 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics . Courier Corporation. tr. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. tr. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
^ Rouse, Margaret. “Mathematical Symbols”. Truy cập ngày một tháng tư năm 2015.
^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ “Rational number”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (ấn phiên bản 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. tr. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (ấn phiên bản 6). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. tr. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
^ ^a ^b ^c ^d “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
^ “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
^ Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. tr. A.VII.5.
^ (Bản report kỹ thuật).
^ Weisstein, Eric W. “p-adic Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.