Số hữu tỉ

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x hoàn toàn có thể trình diễn bên dưới dạng phân số , nhập ê a và b là những số nguyên vẹn với b ≠ 0.^[1]

Tập thích hợp những số hữu tỉ^[2], hoặc thường hay gọi là ngôi trường số hữu tỉ^[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.^[4] Tên Q của tập trung này được Giuseppe Peano dùng phen thứ nhất như thể chữ viết lách tắt của quoziente, tức thị tỷ trọng, và xuất hiện tại lần thứ nhất nhập cuốn sách Algèbre^[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: thế nào là số hữu tỉ

Khai triển thập phân của một số trong những hữu tỉ kết thúc đẩy sau một số trong những hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí là chính thức tái diễn một số trong những hữu hạn nằm trong sản phẩm những chữ số lặp lên đường tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).^[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết thúc đẩy sau hữu hạn chữ số đều thay mặt cho tới một số trong những hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong các cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số nguyên vẹn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko cần là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.^[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, e và φ. Khai triển thập phân của một số trong những vô tỉ kéo dãn mãi tuy nhiên ko tái diễn. Vì tập trung những số hữu tỉ là điểm được và tập trung những số thực là ko điểm được nên hầu hết toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.^[8]

Số hữu tỉ hoàn toàn có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số nguyên vẹn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối quan hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Lúc ê biểu thị lớp tương tự của (p, q).^[9]

Số hữu tỉ cùng theo với quy tắc nằm trong và quy tắc tự tạo trở nên một ngôi trường nhập ê đem chứa chấp những số nguyên vẹn, và được chứa chấp nhập ngẫu nhiên ngôi trường nào là đem chứa chấp những số nguyên vẹn. Nói cách tiếp, ngôi trường số hữu tỉ là 1 trong ngôi trường yếu tố và một ngôi trường đem đặc thù là 0 nếu như và chỉ Lúc nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.^[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo nên trở nên một tập dượt con cái trù phú của những số thực. Các số thực hoàn toàn có thể được kiến thiết kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp triển khai xong, dùng chuỗi Cauchy, hạn chế Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ nhập thương hiệu của tập trung Q nhắc đến thực tiễn rằng một số trong những hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhị số nguyên vẹn. Tính kể từ hữu tỉ thỉnh thoảng tức là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là 1 trong điểm đem toạ chừng hữu tỉ (tức là 1 trong điểm đem toạ chừng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là 1 trong quỷ trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ hoàn toàn có thể là 1 trong nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy vậy thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm tách lầm lẫn thân ái " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là 1 trong biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Lúc những thông số của chính nó ko cần là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một đàng cong hữu tỷ không phải là 1 trong đàng cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, tuy nhiên là 1 trong đàng cong hoàn toàn có thể được thông số hóa vày những hàm hữu tỷ.^{[cần dẫn nguồn]}

Từ nguyên vẹn này tương tự động như kể từ nguyên vẹn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ hoàn toàn có thể được trình diễn bám theo một cơ hội có một không hai bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập ê a và b là những số yếu tố cùng với nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng đúng chuẩn của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một số trong những hữu tỉ a/b, dạng đúng chuẩn của chính nó hoàn toàn có thể có được bằng phương pháp phân chia a và b cho tới ước công cộng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi lốt của tử số và kiểu số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số nguyên vẹn n hoàn toàn có thể được trình diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một số trong những hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Lúc và chỉ Lúc

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Lúc và chỉ Lúc và ^[9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhị kiểu số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Lúc và chỉ Lúc

Mặt không giống, nếu như 1 trong các nhị kiểu số là âm, thì trước tiên từng phân số đem kiểu số âm cần được fake trở nên dạng tương tự với kiểu số dương — bằng phương pháp thay đổi lốt của tất cả tử số và kiểu số của chính nó.^[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, sản phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc b và d là những số yếu tố cùng với nhau.^[9]^[11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy nhập những ngôi trường hợp

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, sản phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc b và d là những số yếu tố cùng với nhau.^[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong ê sản phẩm hoàn toàn có thể là 1 trong phân số hoàn toàn có thể rút gọn gàng — trong cả Lúc cả nhị phân số thuở đầu đều ở dạng chủ yếu tắc.^[9]^[11]

Nghịch hòn đảo quy tắc nằm trong và quy tắc nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b mang trong mình 1 nghịch tặc hòn đảo quy tắc nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b đem nghịch tặc hòn đảo quy tắc nhân, thường hay gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch tặc hòn đảo của chính nó là b/a hoặc −b/−a, tùy theo lốt của a.^{[cần dẫn nguồn]}

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, c và d không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b cho tới c/d tương tự với nhân a/b với nghịch tặc hòn đảo của c/d:

^[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một số trong những nguyên vẹn ko âm, thì

Kết ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: code hải trình huyền thoại

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của sản phẩm là bⁿ/aⁿ nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của sản phẩm là −bⁿ/−aⁿ.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu biểu diễn nhập hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi trình diễn số hữu tỉ bám theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ hoàn toàn có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với kiểu dương và kiểu không tồn tại ước yếu tố nào là ngoài 2 và 5 thì phân số ê viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số đem kiểu số là không tồn tại ước yếu tố nào là không giống 5 nên hoàn toàn có thể viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với kiểu dương và kiểu đem tối thiểu 1 ước yếu tố không giống 2 và 5 thì phân số ê viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số đem kiểu số là 7 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số đem kiểu số là 17 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn nhập trình diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số nhập chu kỳ luân hồi này hoàn toàn có thể chứng tỏ được rằng ko vượt lên trên vượt |b|.

Một cơ hội tổng quát tháo, nhập một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau lốt phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu biểu diễn vày liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là 1 trong biểu thức ví dụ điển hình như

trong ê a_n là những số nguyên vẹn. Mọi số hữu tỉ a/b hoàn toàn có thể được trình diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, tuy nhiên thông số a_n hoàn toàn có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide cho tới (a, b).

Xây dựng tập dượt những số hữu tỉ kể từ tập dượt số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập tân tiến, người tớ kiến thiết tập trung những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét tập dượt tích Decaters:

Trên ê xác lập một mối quan hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho tới b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là tập dượt những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên tập dượt khái niệm những quy tắc toán:

Khi ê nếu và

thì ;

và .

Do ê những quy tắc toán bên trên hoàn toàn có thể được fake lịch sự trở nên những quy tắc toán bên trên tập dượt những lớp tương tự rằng bên trên, tức thị tập dượt .

Để coi là thành phần của tớ nhúng nhập nhờ đơn ánh cho từng số nguyên vẹn n ứng với lớp n/1 nhập .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tập thích hợp Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những quy tắc toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo nên trở nên một ngôi trường.^[9]

Z không tồn tại quy tắc tự động đẳng cấu nào là ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường đem loại tự^[11] không tồn tại ngôi trường con cái nào là không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường đem trật tự nhỏ nhất, bám theo tức thị từng ngôi trường đem trật tự đều có một ngôi trường con cái có một không hai đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của tập trung những số nguyên vẹn Q.^[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.^{[cần dẫn nguồn]}

Tập thích hợp toàn bộ những số hữu tỉ hoàn toàn có thể điểm được (xem hình vẽ), trong những khi tập trung toàn bộ những số thực (cũng như tập trung những số vô tỉ) là ko điểm được. cũng có thể điểm được, tập trung những số hữu tỉ là tập trung trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, bám theo nghĩa của chừng đo Lebesgue.^{[cần dẫn nguồn]}

Số hữu tỷ là 1 trong tập trung đem trật tự động trù mật: thân ái nhị số hữu tỷ ngẫu nhiên, đem một số trong những hữu tỷ không giống, và bởi vậy, đem vô số số hữu tỷ không giống thân ái bọn chúng.^[9] Ví dụ, so với nhị phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tớ có

Bất kỳ tập trung đem trật tự trọn vẹn nào là hoàn toàn có thể điểm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 nào là là đẳng cấu trật tự với tập trung những số hữu tỉ.^[14]

Với số thực và đặc thù pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là 1 trong tập dượt con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều phải có những số hữu tỉ ngay gần nó một cơ hội tùy ý.^[9] Một đặc thù tương quan là số hữu tỉ là số có một không hai đem không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ mang trong mình 1 cấu tạo links trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng đều có một cấu tạo links không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo nên trở nên một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh chếch vô cùng d(x, y) = | x − y |, và điều này tạo nên một cấu tạo links loại tía bên trên Q. Tất cả tía cấu tạo links trùng khớp và thay đổi những hợp lý và phải chăng trở nên một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là 1 trong ví dụ cần thiết của một không khí ko cần là không rườm rà toàn bộ. Các hợp lý và phải chăng được đặc thù về mặt mày cấu tạo links là không khí hoàn toàn có thể điểm được có một không hai tuy nhiên không tồn tại điểm xa lánh. Không gian lận này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo nên trở nên một không khí số liệu trả chỉnh ; những số thực là việc triển khai xong của Q bám theo metric d(x, y) = | x − y | bên trên.^[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được nhắc phía trên, đem những số liệu không giống thay đổi Q trở nên một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một số trong những yếu tố và với từng số nguyên vẹn không giống ko a, cho tới | a |_p = p⁻ⁿ, nhập ê pⁿ là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: lăng uyên cầu mặc

Ngoài rời khỏi tớ bịa đặt | 0 |_p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tớ bịa đặt | a/b |_p = | a |_p/| b |_p .

Khi ê d_p(x, y) = | x − y |_p xác lập một metric bên trên Q^[15]

Không gian lận metric (Q, d_p) ko hoàn hảo và phần triển khai xong của chính nó là ngôi trường số p -adic Q_p. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường nào là bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Số nguyên vẹn tố
Số nguyên
Số tự động nhiên
Số vô tỉ
Số đại số
Số siêu việt
Số thực
Số phức
Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (ấn phiên bản 6). Thủ đô New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics . Courier Corporation. tr. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. tr. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
^ Rouse, Margaret. “Mathematical Symbols”. Truy cập ngày một tháng bốn năm 2015.
^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ “Rational number”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (ấn phiên bản 6). Thủ đô New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. tr. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (ấn phiên bản 6). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. tr. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
^ ^a ^b ^c ^d “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
^ “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
^ Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. tr. A.VII.5.
^ (Bản report kỹ thuật).
^ Weisstein, Eric W. “p-adic Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.