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Hier erfährst du, welche Zusammenhänge zwischen den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck bestehen und wie du diese ausnutzen kannst um andere Größen des Dreiecks zu berechnen.
Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel yên ổn Punkt C gilt:
Merksatz 1:
Merksatz 2:
Die Gegenkathete des Winkels α ist die Ankathete des Winkels β.
Aus der Innenwinkelsumme yên ổn Dreieck ( °) folgt für ein rechtwinkliges Dreieck mit °:
Also:
und damit:
und
Das gilt auch, wenn du α und β vertauschst.Natürlich kannst du auch den Taschenrechner verwenden.Du berechnest den Sinus von und verwendest dann die Taste :
sin²(α) + cos²(α) = 1
Es gibt einen weiteren wichtigen Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels:
Merksatz 3:
Für jeden spitzen Winkel α gilt:
(dabei ist und )
Das lässt sich an einem rechtwinkligen Dreieck schnell herleiten:
Satz des Pythagoras:
Wähle einen beliebigen Winkel α und überprüfe die Gleichheit mit deinem Taschenrechner.
Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du ohne Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus aus dem Kosinus oder den Kosinus aus dem Sinus bestimmen.
Wenn , dann .
Du stellst
nach
um:
Also:
Der Tangens als Quotient aus Sinus und Kosinus
Merksatz 4:
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit " gilt:
Wenn , dann .
Du ersetzt in
durch
Der Tangens, Sinus und Kosinus von 45°, 30° und 60°
Zu einigen Winkeln ergeben sich Werte für Sinus, Kosinus und Tangens, die du dir leicht merken kannst.