tan = sin/cos

Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen.

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert.

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  • sin(α)=GegenkatheteHypotenuse\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

  • cos(α)=AnkatheteHypotenuse\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

  • tan(α)=GegenkatheteAnkathete\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Dabei bezeichnet man als "Ankathete" die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel α\alpha einschließt. Die "Gegenkathete" ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt (siehe Bild).

Die "Ankathete" wird hier yên tĩnh Bild mit einem bb, die "Gegenkathete" mit einem aa und die Hypotenuse mit einem cc bezeichnet.

Beachte: Die Seite aa liegt gegenüber dem Winkel α\alpha, β\beta gegenüber bb und cc gegenüber γ\gamma. Wobei γ\gamma in diesem Beispiel der rechte Winkel ist.

Folgende Winkelbeziehungen ergeben sich daraus:

Wichtige Funktionswerte

Die folgende Wertetabelle zeigt die Funktionswerte des Kosinus, Sinus und Tangens:

αα

00^{\circ}

3030^{\circ}

4545^{\circ}

6060^{\circ}

9090^{\circ}

cos(α)\cos(\alpha)

11

32\dfrac{\sqrt3}2

22\dfrac{\sqrt2}2

12\dfrac12

00

sin(α)\sin(\alpha)

00

12\dfrac12

22\dfrac{\sqrt2}2

32\dfrac{\sqrt3}2

11

tan(α)\tan(\alpha)

00

13\dfrac{1}{\sqrt{3}}

11

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3\sqrt{3}

-

Achtung: Im Fall α=90\alpha=90^\circ entsteht kein Dreieck, domain authority der tan(90)\tan(90^\circ) nicht definiert ist. Siehe dazu Trigonometrie am Einheitskreis.

Abhängigkeiten

Wenn du von einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und einen Winkel gegeben hast, kannst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen die restlichen Seiten berechnen.

Hypotenuse cc ist gegeben.

Ankathete bb ist gegeben.

Gegenkathete aa ist gegeben.

Diese Formeln erhält man, indem man die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens je nach bb, aa und cc auflöst.

Im ersten Fall, wenn die Hypotenuse cc gegeben ist, geht das wie folgt.

sinα=aca=sinαc\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\Rightarrow a=\sin\alpha\cdot c

cosα=bcb=cosαc\cos\alpha=\dfrac b c \Rightarrow b=\cos \alpha\cdot c

Die weiteren Fälle ergeben sich ebenso.

Beispiel

Von einem bei CC rechtwinkligen Dreieck ABC\bigtriangleup\mathrm{ABC} ist die Länge der Hypotenuse c=4c=4 und der Winkel α=30∘\alpha=30^\circ bekannt (erstes Schaubild).

Dann lassen sich die Längen der Ankathete bb und der Gegenkathete aa mithilfe des Sinus und des Kosinus berechnen:

b  =  cos(α)c=  cos(30)4  =  324  =  23b\;=\;\cos(\alpha)\cdot c=\;\cos(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac{\sqrt3}2\cdot4\;=\;2\sqrt3

a  =  sin(α)c  =  sin(30)4  =  124  =  2a\;=\;\sin(\alpha)\cdot c\;=\;\sin(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac12\cdot4\;=\;2

Rechenregeln

Es gibt einige Rechenregeln zu Sinus, Kosinus und Tangens. Hier werden besprochen:

  • Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus,

  • der trigonometrische Pythagoras,

  • die Additionstheoreme.

Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus

Direkt über die Definition von oben erhält man für den Tangens folgende alternative Darstellung:

Die Korrektheit dieser Gleichung kannst du auch einfach nachrechnen:

sinαcosα=  ac  bc=accb=ab=tanα\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{~~\dfrac{a}{c}~~}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a\cdot c}{c\cdot b}=\dfrac{a}{b}=\tan\alpha

Trigonometrischer Pythagoras

Aus der Definition am Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras direkt:

Eine ausführliche Erklärung findest du yên tĩnh Video weiter unten.

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme ermöglichen es, den Sinus und den Kosinus einer Summe zu berechnen:

Weitere Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Trigonometrie am Einheitskreis

Die yên tĩnh Artikel dargestellten Winkelbeziehungen kannst du dir auch am Einheitskreis verdeutlichen. Mehr zu diesem Thema kannst du hier lesen: Trigonometrie am Einheitskreis.

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Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion

Übungsaufgaben

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Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens yên tĩnh rechtwinkligen Dreieck

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