q trong toán học là gì

Các số hữu tỉ (ℚ) được bao hàm trong số số thực (ℝ), trong những khi phiên bản thân thích bọn chúng bao hàm những số nguyên vẹn (ℤ), cho tới lượt nó bao hàm những số đương nhiên (ℕ)

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x rất có thể màn biểu diễn bên dưới dạng phân số , vô bại liệt ab là những số nguyên vẹn với b0.[1]

Tập phù hợp những số hữu tỉ[2], hoặc hay còn gọi là ngôi trường số hữu tỉ[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.[4] Tên Q của tụ họp này được Giuseppe Peano dùng lượt trước tiên như thể chữ ghi chép tắt của quoziente, tức thị tỷ trọng, và xuất hiện tại lần thứ nhất vô cuốn sách Algèbre[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: q trong toán học là gì

Khai triển thập phân của một vài hữu tỉ kết giục sau một vài hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí còn chính thức tái diễn một vài hữu hạn nằm trong mặt hàng những chữ số lặp lên đường tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết giục sau hữu hạn chữ số đều thay mặt đại diện cho tới một vài hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong các cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số nguyên vẹn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko nên là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, eφ. Khai triển thập phân của một vài vô tỉ kéo dãn dài mãi tuy nhiên ko tái diễn. Vì tụ họp những số hữu tỉ là điểm được và tụ họp những số thực là ko điểm được nên hầu hết toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.[8]

Số hữu tỉ rất có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số nguyên vẹn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối liên hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Khi bại liệt biểu thị lớp tương tự của (p, q).[9]

Số hữu tỉ cùng theo với luật lệ nằm trong và luật lệ tự tạo trở thành một ngôi trường vô bại liệt với chứa chấp những số nguyên vẹn, và được chứa chấp vô ngẫu nhiên ngôi trường này với chứa chấp những số nguyên vẹn. Nói cách thứ hai, ngôi trường số hữu tỉ là 1 trong những ngôi trường yếu tố và một ngôi trường với đặc thù là 0 nếu như và chỉ Khi nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo nên trở thành một tập dượt con cái trù phú của những số thực. Các số thực rất có thể được xây cất kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp triển khai xong, dùng chuỗi Cauchy, rời Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ vô thương hiệu của tụ họp Q nói đến thực tiễn rằng một vài hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhị số nguyên vẹn. Tính kể từ hữu tỉ thỉnh thoảng Tức là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là 1 trong những điểm với toạ phỏng hữu tỉ (tức là 1 trong những điểm với toạ phỏng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là 1 trong những yêu tinh trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ rất có thể là 1 trong những nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy nhiên thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm rời lầm lẫn thân thích " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là 1 trong những biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Khi những thông số của chính nó ko nên là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một lối cong hữu tỷ không phải là 1 trong những lối cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, tuy nhiên là 1 trong những lối cong rất có thể được thông số hóa vì thế những hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn]

Từ nguyên vẹn này tương tự động như kể từ nguyên vẹn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ rất có thể được màn biểu diễn theo đuổi một cơ hội có một không hai bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô bại liệt ab là những số yếu tố bên cạnh nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng đúng đắn của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một vài hữu tỉ a/b, dạng đúng đắn của chính nó rất có thể cảm nhận được bằng phương pháp phân chia ab cho tới ước công cộng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi vết của tử số và khuôn số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số nguyên vẹn n rất có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một vài hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Khi và chỉ Khi

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Khi và chỉ Khi [9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhị khuôn số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Khi và chỉ Khi

Mặt không giống, nếu như 1 trong các nhị khuôn số là âm, thì trước tiên từng phân số với khuôn số âm nên được trả trở thành dạng tương tự với khuôn số dương — bằng phương pháp thay đổi vết của tất cả tử số và khuôn số của chính nó.[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành quả tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi bd là những số yếu tố bên cạnh nhau.[9][11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy vô những ngôi trường hợp

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành quả tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi bd là những số yếu tố bên cạnh nhau.[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong bại liệt thành quả rất có thể là 1 trong những phân số rất có thể rút gọn gàng — trong cả Khi cả nhị phân số ban sơ đều ở dạng chủ yếu tắc.[9][11]

Nghịch hòn đảo luật lệ nằm trong và luật lệ nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b với cùng 1 nghịch ngợm hòn đảo luật lệ nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b với nghịch ngợm hòn đảo luật lệ nhân, hay còn gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch ngợm hòn đảo của chính nó là b/a hoặc b/a, tùy thuộc vào vết của a.[cần dẫn nguồn]

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, cd không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b cho tới c/d tương tự với nhân a/b với nghịch ngợm hòn đảo của c/d:

[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một vài nguyên vẹn ko âm, thì

Kết ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: lẩu chay quận 7

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành quả là bn/an nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành quả là bn/an.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu trình diễn vô hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi màn biểu diễn số hữu tỉ theo đuổi hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ rất có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với khuôn dương và khuôn không tồn tại ước yếu tố này ngoài 2 và 5 thì phân số bại liệt ghi chép được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số với khuôn số là không tồn tại ước yếu tố này không giống 5 nên rất có thể ghi chép được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với khuôn dương và khuôn với tối thiểu 1 ước yếu tố không giống 2 và 5 thì phân số bại liệt ghi chép bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số với khuôn số là 7 nên được ghi chép bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số với khuôn số là 17 nên được ghi chép bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn vô màn biểu diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số vô chu kỳ luân hồi này rất có thể chứng tỏ được rằng ko vượt lên trước vượt |b|.

Một cơ hội tổng quát mắng, vô một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau vết phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu trình diễn vì thế liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là 1 trong những biểu thức ví dụ điển hình như

trong bại liệt an là những số nguyên vẹn. Mọi số hữu tỉ a/b rất có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, tuy nhiên thông số an rất có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide cho tới (a, b).

Xây dựng tập dượt những số hữu tỉ kể từ tập dượt số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu vật dụng thể hiện tại sự màn biểu diễn những lớp tương tự của những cặp số nguyên

Trong toán học tập tiến bộ, người tớ xây cất tụ họp những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét tập dượt tích Decaters:

=

Trên bại liệt xác lập một mối liên hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho tới b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là tập dượt những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên tập dượt khái niệm những luật lệ toán:

Khi bại liệt nếu

thì ;
.

Do bại liệt những luật lệ toán bên trên rất có thể được trả lịch sự trở thành những luật lệ toán bên trên tập dượt những lớp tương tự phát biểu bên trên, tức thị tập dượt .

Để coi là thành phần của tớ nhúng nhờ đơn ánh cho từng số nguyên vẹn n ứng với lớp n/1 vô .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Minh họa về tính chất rất có thể điểm được của những số hữu tỷ dương

Tập phù hợp Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những luật lệ toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo nên trở thành một ngôi trường.[9]

Z không tồn tại luật lệ tự động đẳng cấu này ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường với loại tự[11] không tồn tại ngôi trường con cái này không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường với trật tự nhỏ nhất, theo đuổi tức thị từng ngôi trường với trật tự đều có một ngôi trường con cái có một không hai đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của tụ họp những số nguyên vẹn Q.[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.[cần dẫn nguồn]

Tập phù hợp toàn bộ những số hữu tỉ rất có thể điểm được (xem hình vẽ), trong những khi tụ họp toàn bộ những số thực (cũng như tụ họp những số vô tỉ) là ko điểm được. cũng có thể điểm được, tụ họp những số hữu tỉ là tụ họp trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, theo đuổi nghĩa của phỏng đo Lebesgue.[cần dẫn nguồn]

Số hữu tỷ là 1 trong những tụ họp với trật tự động trù mật: thân thích nhị số hữu tỷ ngẫu nhiên, với một vài hữu tỷ không giống, và bởi vậy, với vô số số hữu tỷ không giống thân thích bọn chúng.[9] Ví dụ, so với nhị phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tớ có

Bất kỳ tụ họp với trật tự trọn vẹn này rất có thể điểm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 này là đẳng cấu trật tự với tụ họp những số hữu tỉ.[14]

Với số thực và đặc thù pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là 1 trong những tập dượt con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều phải sở hữu những số hữu tỉ sát nó một cơ hội tùy ý.[9] Một đặc thù tương quan là số hữu tỉ là số có một không hai với không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ với cùng 1 cấu tạo link trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng có thể có một cấu tạo link không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo nên trở thành một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh chéo vô cùng d(x, y) = | xy |, và điều này tạo nên một cấu tạo link loại tía bên trên Q. Tất cả tía cấu tạo link trùng khớp và biến đổi những phù hợp trở thành một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là 1 trong những ví dụ cần thiết của một không khí ko nên là không rườm rà toàn thể. Các phù hợp được đặc thù về mặt mũi cấu tạo link là không khí rất có thể điểm được có một không hai tuy nhiên không tồn tại điểm xa lánh. Không gian trá này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo nên trở thành một không khí số liệu trả chỉnh  ; những số thực là việc triển khai xong của Q theo đuổi metric d(x, y) = | xy | bên trên.[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được nhắc phía trên, với những số liệu không giống biến đổi Q trở thành một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một vài yếu tố và với từng số nguyên vẹn không giống ko a, cho tới | a |p = pn, vô bại liệt pn là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: dằm trong tim lyrics

Ngoài đi ra tớ đặt điều | 0 |p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tớ đặt điều | a/b |p = | a |p/| b |p .

Khi bại liệt dp(x, y) = | xy |p xác lập một metric bên trên Q[15]

Không gian trá metric (Q, dp) ko hoàn hảo và phần triển khai xong của chính nó là ngôi trường số p -adic Qp. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường này bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số nguyên vẹn tố
  • Số nguyên
  • Số tự động nhiên
  • Số vô tỉ
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (ấn phiên bản 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  2. ^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics . Courier Corporation. tr. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
  3. ^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. tr. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
  4. ^ Rouse, Margaret. “Mathematical Symbols”. Truy cập ngày một tháng bốn năm 2015.
  5. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  6. ^ “Rational number”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  7. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  8. ^ Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (ấn phiên bản 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  9. ^ a b c d e f g h i Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. tr. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
  10. ^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (ấn phiên bản 6). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. tr. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
  11. ^ a b c d “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  12. ^ “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  13. ^ Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. tr. A.VII.5.
  14. ^ (Bản report kỹ thuật).
  15. ^ Weisstein, Eric W. “p-adic Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số hữu tỉ bên trên MathWorld.