min max số phức


Các dạng toán về lần min, max tương quan cho tới số phức

Tổng hợp ý đề ganh đua thân thuộc kì 2 lớp 12 toàn bộ những môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Bạn đang xem: min max số phức

1. Kiến thức cần thiết nhớ

- Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 0\)

- Bất đẳng thức Cô-si: \(x + hắn \ge 2\sqrt {xy} \) với \(x,hắn > 0\)

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)

- Bất đẳng thức chứa chấp vệt độ quý hiếm tuyệt đối: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) 

Quảng cáo

2. Một số dạng toán thông thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn nhu cầu ĐK đem tế bào đun nhỏ nhất, lớn số 1.

Phương pháp:

- Cách 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,hắn \in R} \right)\).

- Cách 2: Thay \(z\) và biểu thức đang được mang lại lần quan hệ của \(x,y\).

- Cách 3: Đánh giá chỉ biểu thức đã có được nhằm lần max, min, kể từ bại liệt suy đi ra \(x,hắn \Rightarrow z\).

Ví dụ: Cho \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn nhu cầu \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\) Tính max\(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)

A. \(8\)

B. \(10\)

C. \(4\)

D. \(\sqrt {10} \)

Giải

Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\) \(({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)\). Điều khiếu nại đang được mang lại trở thành

+) \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}}  = 1\) 

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 1\)  (1)

+) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\)  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) tao được \({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\)

+) \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tao được

\(T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2}  \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)}  \) 

\( = \sqrt {2.5}  = \sqrt {10} \Rightarrow \) \(\max T = \sqrt {10} .\)

Đáp án D 

 

Có thể dùng cách thức hình học tập nhằm giải những bài bác tập dượt dạng này. 

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tụ hội điểm màn biểu diễn của số phức. Có 4 tụ hội điểm thông thường gặp

+) Đường thẳng

+) Đường tròn

+) Đường elip

+) Parabol

Bước 2: Vẽ tụ hội điểm màn biểu diễn của số phức. Từ bại liệt lần max, min của tế bào đun

Xem thêm: chư giới đệ nhất nhân

Số phức \(z = x + yi(x,hắn \in R)\)  đem điểm màn biểu diễn là \(M(x,y)\). Mô đun của số phức \(z\) là chừng nhiều năm đoạn trực tiếp \(OM\) với \(O\) là gốc tọa chừng.

Ví dụ: Cho số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn nhu cầu \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) bên cạnh đó đem tế bào đun nhỏ nhất. Tính \(N = {x^2} + {y^2}.\)

A. \(N = 8\)

B. \(N = 10\)

C. \(N = 16\)              

D. \(N = 26\)

Giải

Gọi \(M(x,y)\) là vấn đề màn biểu diễn của số phức \(z = x + yi\)

+) \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\)\( \Rightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {x^2} + {(y - 2)^2} \Leftrightarrow  - 4x + 4 - 8y + 16 =  - 4y + 4\)

\( \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + hắn - 4 = 0\)

Suy đi ra tụ hội điểm màn biểu diễn của \(z\) là 1 trong những đường thẳng liền mạch \(x + hắn - 4 = 0\)

+) \(N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\)

\( \Rightarrow N\)min\( \Leftrightarrow \left| z \right|\)min\( \Leftrightarrow OM\)min \( \Rightarrow OM \bot d:x + hắn - 4 = 0\)

\( \Rightarrow M(2,2)\)  \( \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\)

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của tế bào đun số phức thỏa mãn nhu cầu ĐK mang lại trước.

Phương pháp:

- Sử dụng những bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho \(z\) thỏa mãn nhu cầu \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \sqrt 5 .\) Tìm max\(\left| z \right|.\)

A. \(3\sqrt 5 \)

B. \(5\)

C. \(\sqrt 5 \)                                     

D. \(\sqrt {13} \)

Giải

Dấu hiệu: Đề bài bác đòi hỏi tính max của một tế bào đun tao dùng bất đẳng thức chứa chấp vệt độ quý hiếm tuyệt song.

Ta có: \(\left| z \right| - \left| { - 2 - 4i} \right| \le \left| {z - 2 - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| - \sqrt {20}  \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20}  + \sqrt 5  = 3\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \) max\(\left| z \right| = 3\sqrt 5 \)

Đáp án A.


Bình luận

Chia sẻ

  • Dạng lượng giác của số phức

    Dạng lượng giác của số phức

  • Các dạng toán về điểm màn biểu diễn số phức

    Các dạng toán về điểm màn biểu diễn số phức

  • Bài 6 trang 144 SGK Giải tích 12

    Giải bài bác 6 trang 144 SGK Giải tích 12. Trong những tóm lại sau, tóm lại nào là là sai?

  • Bài 5 trang 144 SGK Giải tích 12

    Giải bài bác 5 trang 144 SGK Giải tích 12. tường rằng nghịch ngợm hòn đảo của số phức z ngay số phức phối hợp của chính nó, trong những tóm lại sau, tóm lại nào là là đúng?

  • Bài 4 trang 144 SGK Giải tích 12

    Giải bài bác 4 trang 144 SGK Giải tích 12. Đẳng thức nào là trong những đẳng thức sau là đúng?

>> Xem thêm

Xem thêm: truyện đam mỹ ngược thụ

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện ganh đua TN trung học phổ thông & ĐH năm 2024 bên trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học từng khi, từng điểm với Thầy Cô giáo xuất sắc, không thiếu thốn những khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện ganh đua chuyên nghiệp sâu; Luyện đề đầy đủ dạng; Tổng ôn tinh lọc.